数学高考真题解答题解析参考

解答题思路梳理详解步骤，给数学不是很好或者解答有疑问的人一个思路参考，对数学有兴趣的人可以看看，锻炼数学做题解题思路，提高做题能力。

解答题17题

17.（10分）

已知在 △ABC 中， $A + B = 3C$， $2\sin(A - C) = \sin B$.

（1）求 $\sin A$；
（2）设 $AB = 5$，求 AB 边上的高。

🧠 解题思路与详细解析

✦ 第一步：整理条件

在三角形中，角和恒有：
$$A + B + C = \pi$$

而题干给出：
$$A + B = 3C$$

代入总角和：

$$3C + C = \pi \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}$$

所以：

$$A + B = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow A + B = 135^\circ \Rightarrow A + B = 3C$$

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✦ 第二步：求 $\sin A$

利用题干给出的三角恒等式：
$$2\sin(A - C) = \sin B$$

我们已经知道 $C = \frac{\pi}{4}$

又由 $A + B = \frac{3\pi}{4}$，
即 $B = \frac{3\pi}{4} - A$

代入恒等式：

$$2\sin(A - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4} - A)$$

我们使用正弦函数差角公式：

左边：

$$2\sin(A - \frac{\pi}{4}) = 2\left[\sin A \cos \frac{\pi}{4} - \cos A \sin \frac{\pi}{4}\right] = 2\left[\sin A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right] = \sqrt{2}(\sin A - \cos A)$$

右边：

$$\sin(\frac{3\pi}{4} - A) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} - A) = \cos(A - \frac{\pi}{4}) = \cos A \cos \frac{\pi}{4} + \sin A \sin \frac{\pi}{4} = \cos A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A + \sin A)$$

于是有：

$$\sqrt{2}(\sin A - \cos A) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A + \sin A)$$

两边同时除以 $\sqrt{2}$ 得：

$$\sin A - \cos A = \frac{1}{2}(\cos A + \sin A)$$

移项：

$$\sin A - \frac{1}{2} \sin A = \cos A + \frac{1}{2} \cos A \Rightarrow \frac{1}{2} \sin A = \frac{3}{2} \cos A \Rightarrow \tan A = 3$$

所以：

$$\sin A = \frac{3}{\sqrt{10}},\quad \cos A = \frac{1}{\sqrt{10}}$$

（注意由 $\tan A = 3 \Rightarrow$ 构造直角三角形：对边 3，邻边 1，斜边 $\sqrt{10}$）

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✅ 第（1）问答案：

$$\sin A = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$

问题二 求 AB 边上的高

✅ 第一步：使用正弦定理表达 $a$ 的值

正弦定理： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow a = \frac{c \sin A}{\sin C}$$

AB = 5 AB边即c 带入：

• $c = 5$
• $\sin A = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
• $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

代入计算：

$$a = \frac{5 \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{5}$$

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✅ 第二步：由 $\sin A = 3\cos A$ 推出 $\cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}$

由第（1）问已知：

$$\tan A = 3 \Rightarrow \sin A = 3\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{\sin A}{3} = \frac{3\sqrt{10}/10}{3} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

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✅ 第三步：用正弦加法公式求 $\sin B$

我们知道：

$$B = 135^\circ - A = A + C \Rightarrow \sin B = \sin(A + C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$$

代入具体数值：

• $\sin A = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
• $\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}$
• $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

代入得：

$$\sin B = \frac{3\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{20}}{20} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

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✅ 第四步：再用正弦定理求边 $b$

$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{5 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{10}$$

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✅ 第五步：用面积公式求高

面积公式（用高）： $$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$$

面积公式（用两边+夹角）： $$S = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A$$

两边式子相等（都是求三角形面积S）：

$$\frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A \Rightarrow h = b \cdot \sin A = 2\sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{6 \cdot 10}{10} = 6$$

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✅ 最终答案为：高 = 6